每月貸款還款計算機及其背後的公式

固定利率貸款以等額分期償還，其付款金額始終不變，而這個金額可由一行代數公式計算得出。以名目利率 5.5% 借款 200,000，期限為 20 年，則每月付款金額為 1,375.77，總還款金額為 330,185.91，其中包含 130,185.91 的利息。以下是附有各項術語解釋的公式、一個能讓您輸入自己數字的計算機、兩個完整的計算範例，以及一份此算法忽略的成本清單。

等額分期付款涵蓋的內容

這類貸款的每一筆還款都同時有兩種作用。一部分用來支付該期間貸款餘額所產生的利息，剩餘部分則用來減少餘額。由於餘額縮小，下一期的利息會變少，因此同樣的固定還款金額中，有更大一部分會用於償還本金。還款金額本身永遠不變。其金額的設定是為了讓餘額在最後一期還款時正好歸零，不早也不晚。

這就是等額分期付款的結構，也稱為攤銷型貸款或等額償還貸款。這不是貸款唯一的形式。在等額本金貸款中，借款人每期償還相同金額的本金，並支付剩餘本金的利息，因此第一期還款金額最高，之後逐期減少。在只付利息貸款中，每期還款只涵蓋利息，全部本金則在最後到期一次付清。本頁的計算機模擬的是等額償還的情況，這是大多數房貸、車貸和個人分期貸款的預設方式。

三個輸入值決定了一切：借款金額、名目年利率和年期。沒有其他東西會納入公式。當報價的還款金額與您計算出的結果不符時，記住這一點很有用。差異幾乎總是來自這三個數字以外的因素，而不是計算上的錯誤。

公式逐項解析

還款金額是使所有 n 期分期付款的折現值等於借款總額的金額。寫出來就是：

i = rate / 1200              periodic (monthly) rate, as a decimal
n = years * 12               total number of payments
m = P * i * (1 + i)^n / ((1 + i)^n - 1)

total paid     = m * n
total interest = total paid - P

P 是本金，也就是實際借貸的金額。rate 是名目年利率。將其除以 1200 可一步完成兩件事：將百分比轉換為小數（除以 100），並將年利率分成十二等份的月利率（除以 12）。該步驟中並未進行複利轉換，這就是為什麼按月計息的名目利率 5.5% 會換算出 5.6408% 的實際年利率。

因子 (1 + i)^n 出現兩次，一次在分子，一次在分母。如果將同一個公式重新整理，原因會更容易理解：

m = P * (1 + i)^n / ( ((1 + i)^n - 1) / i )

現在，公式的兩半都有了意義。P * (1 + i)^n 是指如果借款人完全不還款，債務在期末會增長到的金額。以 200,000 元、240 個月、利率 5.5% 為例，這個金額是 599,325.11 元。分母 ((1 + i)^n - 1) / i 則是指每期支付一單位金額的款項流，在期末累積的總額，其中每筆付款都會在其存放期間賺取利息。在同樣的 240 個月內，這個累積因子是 435.627395。將前者除以後者，就得出每筆付款需要的大小，才能讓這筆款項流正好抵銷增長後的債務。同樣的增長因子出現了兩次，因為有兩件不同的事情以相同的速率向前推進：一邊是債務，另一邊是還款。這是貸款和精算工作中使用的標準年金表達式，也出現在一般參考資料中，例如維基百科上的分期攤還計算機條目，通常會改用負指數來表示。

有一種情況需要分開處理。當利率為零時，分子中的 i 和分母中的 (1 + i)^n - 1 都會變成零，表達式就成了 0/0，無法計算。但答案仍然很明顯，因為沒有利息的貸款是以均等的本金分期償還的：

m = P / n                    when rate = 0

計算機將此視為一個獨立的分支處理，因此利率為 0 時會回傳 principal / (years * 12)，而不是錯誤。以 200,000 元、20 年期為例， 每月為 833.33 元，總額為 200,000 元，完全沒有利息。

在下方設定您自己的數字。結果會隨著您的輸入即時更新，這樣您就能感受到 半個百分點的利率或多五年的時間實際上會增加多少成本。

一個計算範例：200,000，利率 5.5%，為期 20 年

所有中間值，依序如下：

P = 200000, rate = 5.5, years = 20

i = 5.5 / 1200                      = 0.00458333
n = 20 * 12                         = 240
(1 + i)^n                           = 2.99662556
m = 200000 * 0.00458333 * 2.99662556 / (2.99662556 - 1)
                                    = 1375.77

total paid     = 1375.77 * 240      = 330185.91
total interest = 330185.91 - 200000 = 130185.91

利息總額為借款金額的 65.1%，且佔這 20 年間借款人帳戶總支出的 39.4%。

第一期付款的組成如下。第一個月的利息是總餘額乘以月利率，即 200,000 乘以 0.00458333，等於 916.67。剩下的 459.11 則用來償還本金，使餘額降至 199,540.89。因此，第一期付款所償還的債務，僅佔其付款金額的三分之一。

這個比例變化得很慢。到了第 60 個月，付款分配為 774.48 的利息和 601.29 的本金。在這筆 20 年期的貸款中，直到第 90 個月，也就是七年半後，償還的本金才會超過利息。到了第 180 個月，付款分配為 334.89 的利息和 1,040.89 的本金，而最後一期付款則是 6.28 的利息和 1,369.50 的本金。在最初的十二個月裡，借款人總共支付了 16,509.30，但貸款餘額僅減少了 5,650.32，其餘的 10,858.98 都用來支付利息。

這種前期利息偏高的現象並非費用或罰款。它完全源於一條規則：利息是根據未償還餘額計算的，而這個餘額在第一天是最大的。

同樣的 30 年期貸款，利率再高一個百分點

延長還款期會降低每期還款額，並提高總還款額。以下是同樣的 200,000 元貸款，利率同樣為 5.5%，分 30 年償還：

n = 30 * 12                         = 360
(1 + i)^n                           = 5.18738784
m = 200000 * 0.00458333 * 5.18738784 / (5.18738784 - 1)
                                    = 1135.58

total paid     = 1135.58 * 360      = 408808.08
total interest = 408808.08 - 200000 = 208808.08

每月還款額下降了 240.20 元，這對每月預算來說確實是一大寬慰。 代價是 78,622.17 元的額外利息，且現在利息已超過借款總額：佔本金的 104.4%，並略高於總支付金額的一半。攤還曲線會隨著還款期限而拉長。在 30 年期的還款計畫中，本金還款額要到第 210 個月才會超過利息，且前十二個月僅減少了 2,694.18 元的餘額，相較之下，20 年期的還款計畫則減少了 5,650.32 元。

同一筆 200,000 元貸款的四種版本：

這張表格有兩種解讀方式。還款期限是對總成本影響較大的槓桿：將還款期限從 15 年延長到 30 年，每月還款額減少了 498.59 元，但利息卻從 94,150.04 元增加到 208,808.08 元，超過一倍。利率則是對每月還款數字影響更劇烈的槓桿，因為最後一列多出來的一個百分點，在同樣的 20 年還款期內，每月增加了 115.38 元的還款額，並多出 27,689.20 元的利息。借款人在不同方案之間選擇時，通常必須在當前能負擔的還款額，與直到還款計畫結束才會看到的總額之間進行權衡。

此計算未包含的項目

這僅是本金與利息的計算，除此之外別無其他。此計算不包含房產稅、房屋或抵押貸款保險、開辦費與手續費、估價或法律費用、服務費，或貸款機構捆綁在每月帳單中的任何附加費用。就抵押貸款而言，每月實際從銀行帳戶支出的金額通常明顯高於此公式產生的金額，因為稅款和保險費是與貸款還款一同收取的。

此計算也假設利率永不改變。浮動或可調式利率貸款會按期重設，每次重設都會根據當下的餘額和剩餘期限計算出新的還款金額。此公式在每次重設時仍然適用，但單次運行無法描述此類貸款的整個生命週期。

另外兩項未包含的因素對於規劃也很重要。未模擬提前還款：支付額外款項會減少本金餘額，從而減少該餘額此後會產生的每一單位利息，而許多合約會對此行為收取提前還款的違約金。費用融資也未被模擬。當費用被計入借款總額時，使用包含這些費用的年百分率（annual percentage rate）能比單獨使用名目利率更好地反映真實成本。

貸款機構也會進行四捨五入。還款金額通常會四捨五入到最小的貨幣單位，而最後一期還款會被微調以將餘額結清為零，因此合約上的還款計畫可能與此算術結果有微小差異。請將此頁面視為計算輔助工具，而非財務建議。此處的任何結果都不是要約、報價或條款保證，在簽署任何文件前，應與貸款機構確認相關數字。

常見問題

計算機使用哪種貨幣？

沒有，這是刻意設計的。公式中不包含任何貨幣，因此 200,000 的任何單位都會產生相同單位的還款金額。唯一的要求是您輸入的本金與您讀取的結果之間單位要保持一致。這也意味著計算機適用於以千或百萬為單位的數字，只要每個輸入都使用相同的尺度即可。

如果我輸入的利率為零會怎麼樣？

計算機會切換到 principal / (years * 12) 並傳回無息貸款的還款金額。存在這個分支是因為通用公式本身無法產生該答案，因為當 i 為零時，公式會變成 0/0。無息分期付款計畫在零售和車輛融資中很常見，因此這種情況不僅僅是數學上的好奇心。

為什麼我的貸款機構報價的數字不同？

幾乎總是因為報價中包含了公式所沒有的項目。稅金、保險和費用是常見的附加項目，對於抵押貸款來說，它們可能佔每月帳單的很大一部分。計息天數慣例可以解釋較小的差距，因為一些貸款機構是按實際天數而不是十二個相等的月份來計算利息。當差異很大時，請要求提供一份書面明細，說明報價數字包含哪些內容。

每月多付一些錢有幫助嗎？

有，而且在還款初期幫助最大。額外支付的金額會直接沖抵本金餘額，這會消除那部分本金在剩餘還款期內本應產生的所有利息。在上述 20 年的例子中，第一個月支付的額外款項會消除掉本金，而這部分本金原本會在接下來的 239 個月內持續產生利息。本計算機不模擬超額還款，因此請將其結果視為您承諾的還款計畫，而不是將餘額歸零的最快途徑。