年度複利計算機（附公式與範例）

複利是一條算術公式：未來值 = 本金 x (1 + 利率 / 100) ^ 年期。 將 10,000 元以 5% 的利率投資 10 年，代入該公式計算，你會得到 16,288.95，其中 6,288.95 是利息。本文將解釋每個術語的作用，完整示範兩個範例，並提供一個計算機，讓你用自己的數字計算。本文也會探討一個單純的結果所隱藏的部分，也就是其背後的假設有多少是屬於你，而非算術本身。

年複利實際改變了什麼

單利只支付本金的利息。一筆 10,000 元的存款，利率 5%，每年支付 500 元利息，所以 10 年後你持有 15,000 元，賺取了 5,000 元。年複利會將每年的利息加入餘額，因此隔年會以較大的金額賺取利息。第二年以 10,500 元而非 10,000 元賺取 5% 的利息，即 525 元。第三年以 11,025 元賺取利息，即 551.25 元。

十年下來，產生的利息是 6,288.95 元，而不是 5,000 元。多出來的 1,288.95 元，是在此利率和時間範圍下，複利的全部貢獻，而且在短期內，這個數字比大多數人預期的要小。

時間是造成巨大差異的原因。同樣的 10,000 元，同樣的 5% 利率：

• 10 年：16,288.95 元，利息為 6,288.95 元，而單利為 5,000 元
• 20 年：26,532.98 元，利息為 16,532.98 元，而單利為 10,000 元
• 40 年：70,399.89 元，利息為 60,399.89 元，而單利為 20,000 元

在 10 年時，複利比單利多賺 26% 的利息。在 40 年時，多賺 202%。利率會讓結果增長得更快，因為它位於被乘冪的底數之中。在同樣的 10 年內，將利率從 5% 翻倍至 10%，會使 6,288.95 元的利息變成 15,937.42 元，這是 2 倍利率帶來 2.5 倍的利息。

公式，逐項解析

future value   = principal x (1 + rate / 100) ^ years
total interest = future value - principal

整個計算由三個輸入值和一個指數構成：

• principal 是您開始時的金額，無論您使用何種貨幣。之後不會再存入或提取。
• rate 是以百分比表示的年利率，所以 5 代表 5%，而 rate / 100 則是 0.05。
• years 是複利計算的期數。若為年複利，這就是年數。

括號內是單一年度的成長因子。其中的 1 代表保留您已有的資金，而 rate / 100 則加上賺取的利息，因此在 5% 的利率下，因子為 1.05。將該因子取 years 次方，就能將各年度串連起來：任何一年度結束後的餘額等於前一年的餘額乘以 1.05，而重複此乘法十次，正是一個 10 次方的指數所代表的意義。這就是為什麼成長曲線是向上彎曲而非直線，也是為什麼此計算不能簡化為利率乘以年數。

不足一年的期間也以同樣方式計算，儘管結果常令人驚訝。在 5% 利率下，半年的計算是 1.05 ^ 0.5，即 1.024695，所以六個月的年複利會賺取 2.4695% 的利息，而不是 5% 的一半。總利息並非一個獨立的公式。它等於未來價值減去您的投入本金。

請在下方設定您自己的數字。結果會隨著您的輸入即時更新，讓您能感受到一個百分點的利率或多一年時間對總額的影響。

以本金 10,000、利率 5%、為期 10 年的實例演練

採用上述的預設值，並依序遵循公式：

growth factor  = 1 + 5 / 100          = 1.05
compounded     = 1.05 ^ 10            = 1.6288946
future value   = 10,000 x 1.6288946   = 16,288.95
total interest = 16,288.95 - 10,000   =  6,288.95

逐年的餘額以及每年年底計入的利息：

右邊的欄位顯示了複利的效果。利率從未改變，也沒有存入新的資金，但利息從第一年的 500.00 增加到第十年的 775.66，增幅為 55%。這 55% 並非巧合：年利息的增長因子與其所依據的餘額完全相同，九年後為 1.5513。

餘額數字僅為了顯示而四捨五入至小數點後兩位。計算器在整個計算過程中保持完整精度，並在最後才進行一次四捨五入，因此，如果每年手動四捨五入並將該欄相加，結果將與精確結果在最後一位小數上產生幾個單位的偏差。

第二個範例：250,000 元、4% 利率、25 年

較長的投資期和較低的利率，其表現差異大到值得我們再看一次。在此範例中，利率比第一個範例低，但資金的投資時間是兩倍以上：

growth factor  = 1 + 4 / 100            = 1.04
compounded     = 1.04 ^ 25              = 2.6658363
future value   = 250,000 x 2.6658363    = 666,459.08
total interest = 666,459.08 - 250,000   = 416,459.08

在相同條件下，單利在 25 年內會支付 250,000，總額為 500,000，因此這裡的複利增加了 166,459.08。請注意其成長的型態：前五年增加了 54,163.23，而後五年增加了 118,678.29，在相同利率下，後者是前者的 2.2 倍。除了每年利率所應用的基數大小之外，沒有任何改變。

這兩個例子之間的比較是個實用的教訓。僅僅因為資金複利了 25 年而非 10 年，低一個百分點的利率就產生了 2.67 倍的倍數，而不是 1.63 倍。持續時間是人們低估的投入因素，而且一旦合約簽訂，這通常是他們最無法控制的因素。

假設在何處失效

最常見的差異是複利計算的頻率。本計算機每年計息一次，而銀行或基金則可能每月、每日或連續計息。同樣以 10,000 元、5% 利率投資 10 年，不同計息頻率會產生一個範圍而非單一數字：

在此例中，月複利比年複利多出 181.14 元，約佔所賺取利息的 2.9%，因此計息頻率的選擇遠不如利率或投資期的影響大。不過，隨著利率和投資期的增加，差距確實會擴大。以 10% 利率投資 30 年，10,000 元若採年複利會增長至 174,494.02 元，若採月複利則增長至 198,373.99 元，相差 23,879.97 元。對於任何計息頻率，請將公式替換為 principal x (1 + rate / 100 / m) ^ (years x m)，其中 m 是每年的期數。

此模型完全未考慮通貨膨脹，而通膨會對上述所有數字產生負面影響。如果物價每年上漲 2%，則第二個範例中的 666,459.08 元，其購買力相當於今日的 406,227.38 元，因為 25 年的 2% 通膨相當於 1.6406 的倍數。在進行計算前，先從利率中減去通膨率，可以得出一個粗略的實質報酬，而對於任何超過十年的投資，實質數字才是值得關注的。

稅金和費用是從利率中扣除，而非從結果中扣除，這就是為什麼它們的成本比表面上看起來要高。一個 5% 的報酬若帶有 0.5% 的年費，則會以 4.5% 進行複利計算，最終金額為 15,529.69 元，而非 16,288.95 元。因此，在十年內，0.5% 的費用會使 10,000 元的起始資金損失 759.25 元。每年賺取的利息若按 22% 課稅，會將 5% 的利率變為實際的 3.9%，最終金額為 14,660.73 元，使利息從 6,288.95 元減少至 4,660.73 元。這兩種影響在一個只接受利率輸入的計算機中是看不見的，所以請在輸入利率前先將它們扣除。

最後，固定利率是一個假設，而非承諾。定期存款和持有至到期的債券會支付合約利率，但投資報酬每年都會變動，甚至可能為負值，而僅僅一年的虧損就會打破上述平滑的增長曲線。請將計算結果視為對您所提供數字的算術運算，而非預測。若要覆核結果，美國證券交易委員會在 investor.gov 上提供了一個免費的計算機。

常見問題

此計算機是否使用月複利？

否。利息在每年年底計算一次，這就是年複利的意思。若要計算月複利，請在套用相同指數前，將利率除以 12，並將年數乘以 12。使用預設輸入值，月複利得出 16,470.09，而年複利為 16,288.95，因此年複利是範圍中較保守的一端。

資金需要多久才能翻倍？

求解公式，找出成長因子達到 2 時的年數，即 years = ln 2 / ln(1 + rate / 100)。在 5% 的利率下是 14.21 年，在 4% 的利率下是 17.67 年。72 法則是一個不錯的心算捷徑：72 除以 5 得出 14.4，與精確的 14.21 相近。在較高的利率下，其準確性會有所偏差，例如 72 除以 12 得出 6.0 年，而精確值為 6.12 年。

我可以使用任何貨幣嗎？

可以。此計算機與貨幣無關，且不印出任何符號，因此數字代表您輸入的任何單位。請將本金保持為單一貨幣，因為公式中沒有任何轉換步驟或匯率假設。

如果我每年都存入資金會如何？

單筆總額公式不涵蓋定期存款，將其加入本金會高估結果，因為較晚存入的款項複利計算的年數較少。對於每年年底存入的等額存款，其未來價值為 deposit x ((1 + r) ^ years - 1) / r，其中 r 是 rate / 100。以 5% 的利率每年存入 1,000，持續 10 年，會產生 12,577.89，您可將此金額加到單筆總額的結果上：16,288.95 加上 12,577.89 等於 28,866.84。